命題４８
「１つの三角形で、辺のうちの１辺上の正方形が三角形の残りの２辺上の正方形の和と等しいならば、三角形の残りの２辺によってはさまれた角は直角である。」
三角形ＡＢＣで、１辺ＢＣ上の正方形を辺ＢＡ、ＡＣ上の正方形の和と等しくせよ。
角ＢＡＣは直角であることをいう。
線分ＡＣに対して直角をなす点ＡからＡＤをひきなさい。ＡＤをＢＡと等しくさせ、ＤＣを結びなさい。
ＤＡはＡＢと等しいので、ＤＡ上の正方形もＡＢ上の正方形と等しい。
おのおのにＡＣ上の正方形を加えなさい。そのとき、ＤＡ、ＡＣ上の正方形の和はＢＡ、ＡＣ上の正方形の和と等しい。
しかし、ＤＣ上の正方形はＤＡ、ＡＣ上の正方形の和と等しい。なぜなら、角ＤＡＣは直角である。そして、ＢＣ上の正方形はＢＡ、ＡＣ上の正方形の和と等しい。なぜなら、これは仮定である。それゆえ、ＤＣ上の正方形はＢＣ上の正方形と等しく、辺ＤＣも辺ＢＣと等しい。命題Ⅰ．47
ＤＡはＡＢと等しく、ＡＣは共通なので、２辺ＤＡ、ＡＣは２辺ＢＡ、ＡＣとそれぞれ等しく、底辺ＤＣは底辺ＢＣと等しい。それゆえ、角ＤＡＣは角ＢＡＣと等しい。しかし、角ＤＡＣは直角である。それゆえ、角ＢＡＣも直角である。命題Ⅰ．８
それゆえ、１つの三角形で、辺のうちの１辺上の正方形が三角形の残りの２辺上の正方形の和と等しいならば、三角形の残りの２辺によってはさまれた角は直角である。
証明終了